Carathéodoryn konstruktio

Carathéodoryn konstruktio on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten esimittojen avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.

Määritelmä

Olkoon $(X,d)$ metrinen avaruus. Olkoon ${\mathcal {F}}$ kokoelma $X$:n osajoukkoja ja kuvaus $\zeta :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]$ (ns. esimitta). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:

(1) Jokaiselle $\delta >0$ on olemassa joukot $E_{i}\in {\mathcal {F}}$, $i\in I$, I on numeroituva siten, että

$X=\bigcup _{i\in I}E_{i}$ ja $d(E_{i})\leq \delta$.

(2) Jokaiselle $\delta >0$ on olemassa joukko $E\in {\mathcal {F}}$ siten, että

$\zeta (E)\leq \delta$ ja $d(E)\leq \delta$.

Olkoon nyt $\delta >0$ kiinteä. Määritellään, että joukon $A\subset X$ $\delta$-peite on mikä tahansa numeroituva osakokoelma ${\mathcal {E}}\subset {\mathcal {F}}$, jolla on seuraavat ominaisuudet:

- kokoelma ${\mathcal {E}}$ on joukon A peite, eli pätee $A\subset \cup {\mathcal {E}}$,

- läpimitta $d(E)\leq \delta$ jokaisella $E\in {\mathcal {E}}$.

Määritellään nyt funktio $\psi _{\delta }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ],$

$\psi _{\delta }(A)=\inf\{\sum _{E\in {\mathcal {E}}}\zeta (E):{\mathcal {E}}{\mbox{ on }}A{\mbox{:n }}\delta {\mbox{-peite}}\}$.

Edellä annettu ehto (1) takaa $\delta$-peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus $\psi _{\delta }$ on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio $\psi _{\delta }$ on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että $\psi _{\delta }(\emptyset )=0$ ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.

Huomataan, että jos $0<\delta _{1}\leq \delta _{2}$, niin $\psi _{\delta _{2}}(A)\leq \psi _{\delta _{1}}(A)$ kaikilla $A\subset X$. Toisin sanoen kuvaus $\delta \mapsto \psi _{\delta }(A)$ on kasvava $\delta$:aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla $A\subset X$ on olemassa raja-arvo $\lim _{\delta \rightarrow 0}\psi _{\delta }(A)$. Määrittelemmekin nyt siis funktion $\psi :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ],$

$\psi (A)=\lim _{\delta \rightarrow 0}\psi _{\delta }(A)$.

Koska funktiot $\psi _{\delta }$ ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio $\psi$ on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio $\psi$ rajoitettuna $\psi$-mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman ${\mathcal {F}}$ jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että $\psi$ on itse asiassa Borel-säännöllinen.

Sovelluksia

Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi ${\mathcal {F}}$ kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman ${\mathcal {P}}(X)$ ja asetamme funktion $\zeta$ kaavaksi $\zeta (E)=d(E)^{s}$, $0\leq s<\infty$, niin saatu funktio $\psi _{\delta }={\mathcal {H}}_{\delta }^{s}$ ja siis $\psi ={\mathcal {H}}^{s}$.

Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen $\mathbb {R} ^{n}$. Olkoon $m$ luonnollinen luku, jolla $0<m<n$. Asetetaan kokoelmaksi ${\mathcal {F}}$ $\mathbb {R} ^{n}$:n Borelin perhe $\operatorname {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}$. Määritellään parametrille $t\in [1,\infty ]$ esimitta $\zeta _{t}^{m}:\operatorname {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow [0,\infty ]$,

$\zeta _{t}^{m}(E)={\left(\int _{G(n,m)}{\mathcal {H}}^{m}{(P_{V}E)}^{t}\,{\mbox{d}}\gamma _{n,m}V\right)}^{1/t}\,{\mbox{ jos }}1\leq t<\infty$

ja

$\zeta _{\infty }^{m}(E)={\mbox{ess sup}}\{{\mathcal {H}}^{m}(P_{V}E):V\in G(n,m)\}$,

missä

$G(n,m)=\{V\subset \mathbb {R} ^{n}:V{\mbox{ on lineaarinen aliavaruus, }}{\mbox{dim}}\,V=m\}$ (ns. Grassmannin avaruus)

ja jokaiselle $V\in G(n,m)$ kuvaus $P_{V}$ on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle $V$. Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden $G(n,m)$ varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla $\gamma _{n,m}$.

Näillä esimitoilla $\zeta _{t}^{m}$ saatuja Borelin mittoja $\psi$, joita merkitään symboleilla ${\mathcal {I}}_{t}^{m}$, kutsutaan (m-ulotteisiksi) integraaligeometrisiksi mitoiksi parametrilla t.