Modulimuoto
Modulimuodot ovat funktioryhmiä, jotka on määritelty kompleksitason ylemmässä puoliskossa. Ne keksittiin vasta 1800-luvulla ja ovat oma abstrakti matematiikan alueensa. Modulimuodot ovat monin tavoin symmetrisiä; symmetria tulee esiin tyypillisellä muunnoksella .
Esimerkki
muokkaaDedekindin eetafunktio määritellään
Silloin modulaarinen diskriminantti Δ(z) = η(z)24 on modulimuoto.
Automorfiset muodot ja muita yleistyksiä
muokkaaModulimuodot voidaan yleistää sallimalla funktio niin että ja
Funktiot muotoa tunnetaan automorfisina kertoimina.
Toinen yleistys on Hilbert-modulimuodot.
Formaali määritelmä
muokkaaKirjassa[1] on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon positiivinen kokonaisluku. Tällöin algebrallinen käyrä on tasoa oleva modulikäyrä. Säännöllinen differentiaalimuoto modulikäyrällä on tasoa oleva -kertoiminen modulimuoto.
Kirjassa[2] on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon kokonaisluku. Meromorfinen funktio on heikosti modulaarinen painolla jos kun ja .
Funktio on modulimuoto painolla , jos on holomorfinen sekä :ssa että :ssä ja on heikosti modulaarinen painolla